Una matriz como suma de matriz simétrica y antisimétrica

Expresar cualquier matriz cuadrada como la suma de una matriz simétrica y una matriz antisimétrica.
Sea $A$ una matriz cuadrada cualquiera. Observemos que la siguiente matriz es simétrica
$$B=\frac{1}{2}(A+A^T)$$
En efecto
$$B^T=\left[\frac{1}{2}(A+A^T)\right]^T=\frac{1}{2}[A+A^T]^T=\frac{1}{2}(A^T+A)=B$$
Observemos que la siguiente matriz es antisimétrica
$$C=\frac{1}{2}(A-A^T)$$
En efecto
$$C^T=\left[\frac{1}{2}(A-A^T)\right]^T=\frac{1}{2}[A-A^T]^T=\frac{1}{2}(A^T-A)=-C$$
Además
$$A=B+C=\frac{1}{2}(A+A^T)+\frac{1}{2}(A-A^T)$$
Por lo tanto, cualquier matriz cuadrada puede expresarse como la suma de una matriz simétrica y otra antisimétrica.