Demostrar el seno del arco mitad [Ejercicio resuelto de Trigonometría]

Demostrar que el seno del arco mitad es
$$\sin\frac{x}{2}=\pm\sqrt{\dfrac{1-\cos x}{2}}$$
Recordemos el coseno del arco doble
$$\cos 2y=1-2\sin^2y\Rightarrow\sin^2y=\dfrac{1-\cos 2y}{2}$$
Luego
$$\sin y=\pm\sqrt{\dfrac{1-\cos 2y}{2}}$$
Ahora, hacemos $y=x/2$
$$\begin{align}
\sin\frac{x}{2}&=\pm\sqrt{\dfrac{1-\cos\left(2\cdot\dfrac{x}{2}\right)}{2}}\\
&=\pm\sqrt{\dfrac{1-\cos x}{2}}
\end{align}$$
Por lo tanto
$$\sin\frac{x}{2}=\pm\sqrt{\dfrac{1-\cos x}{2}}$$