Hallar p+q si la división es exacta [Ejercicio de Álgebra]

Hallar $(p+q)$ si la siguiente división de polinomios
$$\dfrac{x^4+(p-3)x^2+q+3}{x^2+x+1}$$
es exacta.
Como la división es exacta, el residuo es cero y como el grado del dividendo ($x^4+(p-3)x^2+q+3$) es 4 y del divisor ($x^2+x+1$) es 2, entonces el grado del cociente debe ser $4-2=2$, es decir, el cociente tiene la forma
$$ax^2+bx+c$$
Luego
$$x^4+(p-3)x^2+q+3=(ax^2+bx+c)(x^2+x+1)$$
Operamos y agrupamos
$$\begin{align}
x^4+(p-3)x^2+q+3&=ax^4+ax^3+ax^2+bx^3+bx^2\\
& \qquad\qquad\qquad+bx+ax^2+bx+c\\
x^4+0x^3+(p-3)x^2+0x+(q+3)&=ax^4+(a+b)x^3+(a+b+c)x^2\\
& \qquad\qquad\qquad\qquad+(b+c)x+c
\end{align}$$
Igualando coeficientes
$$a=1$$
$$a+b=0\Rightarrow 1+b=0\Rightarrow b=-1$$
$$b+c=0\Rightarrow -1+c=0\Rightarrow c=1$$
$$p-3=a+b+c\Rightarrow p-3=1+(-1)+1\Rightarrow p=4$$
$$q+3=c\Rightarrow q+3=1\Rightarrow q=-2$$
Tenemos que $p=4$ y $q=-2$, la suma $p+q$ es
$$4+(-2)=2$$