Calcular usando propiedades de logaritmos [Ejercicio resuelto de Álgebra]

Calcular el valor de
$$P=a^k+b^t$$
Siendo
$$k=\dfrac{1+\log_ab}{1+\log_ba}\log_b3\qquad\qquad t=\dfrac{1+\log_ba}{1+\log_ab}\log_a7$$
Operamos $k$ y $t$
$$\begin{align}
k&=\dfrac{1+\dfrac{1}{\log_ba}}{1+\log_ba}\log_b3\\
&=\dfrac{\dfrac{\log_ba+1}{\log_ba}}{1+\log_ba}\log_b3\\
&=\dfrac{\log_b3}{\log_ba}\\
&=\log_ab\log_b3
\end{align}$$
$$\begin{align}
t&=\dfrac{1+\dfrac{1}{\log_ab}}{1+\log_ab}\log_a7\\
&=\dfrac{\dfrac{\log_ab+1}{\log_ab}}{1+\log_ab}\log_a7\\
&=\dfrac{\log_a7}{\log_ab}\\
&=\log_ba\log_a7
\end{align}$$
Usamos estos resultados y operamos con la expresión $P$
$$\begin{align}
P&=a^k+b^t\\
&=a^{\log_ab\log_b3}+b^{\log_ba\log_a7}\\
&=\left(a^{\log_ab}\right)^{\log_b3}+\left(b^{\log_ba}\right)^{\log_a7}\\
&=\left(b\right)^{\log_b3}+\left(a\right)^{\log_a7}\\
&=3+7\\
&=10
\end{align}$$
Por lo tanto, $P=10$.