Verificar si un subconjunto de R2 es subespacio vectorial

¿$V=\{(x,y)\in\mathbb{R}^2\ |\ y\leq x\}$, con las operaciones usuales de $\mathbb{R}^2$, es un subespacio vectorial?

Solución.

Sean $(x_1,y_1),(x_2,y_2)\in V$, dos elementos arbitrarios, es decir, $y_1\leq x_1$ y $y_2\leq x_2$. Sea $\lambda$ arbitrario. Primero verificamos si la suma está en $V$. La suma es $(x_1,y_1)+(x_2,y_2)=(x_1+x_2,y_1+y_2)$ y
$$\left.
\begin{array}{c}
y_1\leq x_1\\
y_2\leq x_2
\end{array}
\right\}\Rightarrow y_1+y_2\leq x_1+x_2$$
Entonces $(x_1,y_1)+(x_2,y_2)\in V$. Ahora veremos si el producto por un escalar está en $V$. El producto por un escalar es $\lambda(x_1,y_1)=(\lambda x_1,\lambda y_1)$ y
$$\begin{align}
y_1\leq x_1&\Rightarrow\lambda y_1\leq\lambda x_1,\text{ si }\lambda\geq 0\\
y_1\leq x_1&\Rightarrow\lambda y_1\geq\lambda x_1,\text{ si }\lambda< 0
\end{align}$$

Esto es, $\lambda(x_1,y_1)\in V$ para $\lambda\geq 0$ pero no para $\lambda<0$. Por lo tanto, $V$ no es un subespacio vectorial de $\mathbb{R}^2$.