Transformada de Laplace de función definida por partes [Ecuaciones Diferenciales]

Sea la siguiente ecuación diferencial
$$f(t)=\left\{
\begin{array}{cl}
1 & ,\ 0\leq t<3\\
4-t & ,\ 3\leq t<4\\
0 & ,\ t\geq 4
\end{array}
\right.$$
Usamos la definición de transformada de Laplace
$$\begin{align}
\mathscr{L}\{f(t)\}&=\int_0^{+\infty}e^{-st}f(t)dt\\
&=\int_0^3e^{-st}(1)dt+\int_3^4e^{-st}(4-t)dt+\int_4^{+\infty}e^{-st}(0)dt\\
&=\int_0^3e^{-st}dt+4\int_3^4e^{-st}dt-\int_3^4e^{-st}tdt\\
&=-\left.\dfrac{e^{-st}}{s}\right|_0^3-\left.4\dfrac{e^{-st}}{s}\right|_3^4+\left.\dfrac{te^{-st}}{s}\right|_3^4+\left.\dfrac{e^{-st}}{s^2}\right|_3^4\\
&=-\dfrac{e^{-3s}}{s}+\dfrac{1}{s}-4\dfrac{e^{-4s}}{s}+4\dfrac{e^{-3s}}{s}+4\dfrac{e^{-4s}}{s}-3\dfrac{e^{-3s}}{s}+\dfrac{e^{-4s}}{s^2}-\dfrac{e^{-3s}}{s^2}\\
&=\dfrac{1}{s}+\dfrac{e^{-4s}}{s^2}-\dfrac{e^{-3s}}{s^2}
\end{align}$$
Por lo tanto, la transformada de Laplace es
$$\mathscr{L}\{f(t)\}=\dfrac{1}{s}+\dfrac{e^{-4s}}{s^2}-\dfrac{e^{-3s}}{s^2}$$