Calcular la suma de los valores propios [Ejercicio resuelto de Álgebra Lineal]

Si un vector propio de la matriz $\begin{bmatrix}a & -2\\ 5 & -7\end{bmatrix}$ es $\begin{bmatrix}1\\ 5\end{bmatrix}$, calcular la suma de sus valores propios.

Como $\begin{bmatrix}1\\ 5\end{bmatrix}$ es un vector propio de la matriz $\begin{bmatrix}a & -2\\ 5 & -7\end{bmatrix}$, entonces existe $\lambda\in\mathbb{R}$ tal que
$$\begin{bmatrix}a & -2\\ 5 & -7\end{bmatrix}\begin{bmatrix}1\\ 5\end{bmatrix}=\lambda\begin{bmatrix}1\\ 5\end{bmatrix}$$
Operamos
$$\begin{align}
\begin{bmatrix}a & -2\\ 5 & -7\end{bmatrix}\begin{bmatrix}1\\ 5\end{bmatrix}&=\lambda\begin{bmatrix}1\\ 5\end{bmatrix}\\
\begin{bmatrix}a-10\\ -30\end{bmatrix}&=\begin{bmatrix}\lambda\\ 5\lambda\end{bmatrix}
\end{align}$$
Por igualdad de matrices
$$5\lambda=-30\Rightarrow\lambda=-6$$
$$\lambda=a-10\Rightarrow -6=a-10\Rightarrow a=4$$
Luego, la matriz es
$$\begin{bmatrix}4 & -2\\ 5 & -7\end{bmatrix}$$
Calculamos sus valores propios
$$\begin{align}
\det(A-\lambda I)&=0\\
\det\left(\begin{bmatrix}4 & -2\\ 5 & -7\end{bmatrix}-\lambda\begin{bmatrix}1 & 0\\ 0 & 1\end{bmatrix}\right)&=0\\
\begin{vmatrix}4-\lambda & -2\\ 5 & -7-\lambda\end{vmatrix}&=0\\
(4-\lambda)(-7-\lambda)+10&=0\\
\lambda^2+3\lambda-18&=0\\
(\lambda+6)(\lambda-3)&=0
\end{align}$$
De donde, los valores propios son $\lambda_1=-6$ y $\lambda_2=3$. Por lo tanto, la suma de los valores propios es $-6+3=-3$.