Transformaciones trigonométricas de suma de senos a producto [Ejercicio resuelto de Trigonometría]

Demostrar que
$$\sin A+\sin B=2\sin\left(\dfrac{A+B}{2}\right)\cos\left(\dfrac{A-B}{2}\right)$$
Recordemos las siguientes identidades de suma y diferencia de arcos para el seno
$$\begin{align}
\sin(x+y)&=\sin x\cos y+\cos x\sin y\\
\sin(x-y)&=\sin x\cos y-\cos x\sin y
\end{align}$$
Sumando miembro a miembro
$$\sin(x+y)+\sin(x-y)=2\sin x\cos y\qquad\ldots\mbox{(I)}$$
Ahora, sea $x+y=A$ y $x-y=B$, de estas dos ecuaciones es fácil despejar $x$ e $y$, tendremos
$$x=\dfrac{A+B}{2}\qquad\qquad y=\dfrac{A-B}{2}$$
Reemplazando en $\mbox{(I)}$
$$\sin A+\sin B=2\sin\left(\dfrac{A+B}{2}\right)\cos\left(\dfrac{A-B}{2}\right)$$