Si tenemos un cociente notable cuál es el quinto término [Ejercicio resuelto de Álgebra]

Si la siguiente expresión nos da un cociente notable
$$\dfrac{x^a-y^b}{x^2-y^3}$$
que tiene ocho términos, ¿cuál es el quinto término?
Usamos la condición necesaria y suficiente para obtener un cociente notable (para que la división sea exacta)
$$\dfrac{a}{2}=\dfrac{b}{3}=8$$
De donde, $a=2\cdot 8=16$ y $b=3\cdot 8=24$, nuestra expresión queda así
$$\dfrac{x^{16}-y^{24}}{x^2-y^3}=\dfrac{(x^2)^8-(y^3)^8}{x^2-y^3}$$
La cual podemos escribir así
$$\dfrac{r^8-s^8}{r-s}$$
Donde $r=x^2$ y $s=y^3$. Como el divisor es de la forma $r-s$, todos los términos del cociente son positivos. El $k$-ésimo término (el de lugar $k$) es de la forma $t_k=r^{n-k}s^{k-1}$, donde $n$ es el grado del dividendo. En nuestro caso, nos piden el quinto término, $k=5$, con $n=8$, luego
$$t_5=r^{8-5}s^{5-1}=r^3s^4$$
Volviendo a las variables $x$ e $y$
$$t_5=(x^2)^3(y^3)^4=x^6y^{12}$$