Si el producto de un escalar por un vector es el vector nulo

Si el producto de un escalar por un vector es el vector nulo, entonces el escalar es cero $(0)$ o el vector es nulo $(\theta)$. Es decir, si $\lambda v=\theta$, entonces $\lambda=0$ ó $v=\theta$.

Solución.

Sea $V$ un espacio vectorial sobre el cuerpo $K$, sin pérdida de generalidad consideremos que $v\neq\theta$ y $\lambda v=\theta$. Supongamos que $\lambda\neq 0$, entonces $\exists\lambda^{-1}\in K$ tal que $\lambda^{-1}\lambda=1$ (pues $K$ es cuerpo). Luego
$$\begin{align}
\lambda v&=\theta\\
\lambda^{-1}\lambda(v)&=\lambda^{-1}\theta\\
1(v)&=\theta\\
v&=\theta
\end{align}$$
Pero este resultado es una contradicción pues hemos supuesto que $v\neq\theta$.

Por lo tanto, $\lambda=0$. De manera similar se puede probar que $\lambda v=\theta$ y $\lambda\neq 0$ implica que $v=\theta$.