Parte real e imaginaria de un número complejo

Sea $z\in\mathbb{C}$. Demostrar que $\text{Re}(z)=\frac{z+\overline{z}}{2}$ y $\text{Im}(z)=\frac{z-\overline{z}}{2i}$.

Solución.

Sea $z\in\mathbb{C}$ de la forma $z=a+bi$, con $a,b\in\mathbb{R}$. Entonces $\overline{z}=a-bi$. Por definición la parte real e imagina de $z$ son $\text{Re}(z)=a$ y $\text{Im}(z)=b$, respectivamente. Ahora operamos
$$\begin{align}
z+\overline{z}&=(a+bi)+(a-bi)=2a\Rightarrow a=\frac{z+\overline{z}}{2}\\
z-\overline{z}&=(a+bi)-(a-bi)=2bi\Rightarrow b=\frac{z-\overline{z}}{2i}
\end{align}$$
De donde
$$\begin{align}
\text{Re}(z)&=\frac{z+\overline{z}}{2}\\
\text{Im}(z)&=\frac{z-\overline{z}}{2i}
\end{align}$$

Eso termina la demostración.