Límite al infinito de una función con diferencia de radicales

Calcular el siguiente límite
$$\lim_{x\rightarrow\infty}\left(\sqrt{x^2+4x}-\sqrt{x^2-x}\right)$$
Solución.

Sea
$$L=\lim_{x\rightarrow\infty}\left(\sqrt{x^2+4x}-\sqrt{x^2-x}\right)$$
Operamos
$$\begin{align}
L&=\lim_{x\rightarrow\infty}\left(\sqrt{x^2+4x}-\sqrt{x^2-x}\right)\cdot\dfrac{\sqrt{x^2+4x}+\sqrt{x^2-x}}{\sqrt{x^2+4x}+\sqrt{x^2-x}}\\
&=\lim_{x\rightarrow\infty}\dfrac{(\sqrt{x^2+4x})^2-(\sqrt{x^2-x})^2}{\sqrt{x^2+4x}+\sqrt{x^2-x}}\\
&=\lim_{x\rightarrow\infty}\dfrac{5x}{x\sqrt{1+\dfrac{4}{x}}+x\sqrt{1-\dfrac{1}{x}}}\\
&=\lim_{x\rightarrow\infty}\dfrac{5}{\sqrt{1+\dfrac{4}{x}}+\sqrt{1-\dfrac{1}{x}}}\\
&=\frac{5}{2}
\end{align}$$
Por lo tanto
$$\lim_{x\rightarrow\infty}\left(\sqrt{x^2+4x}-\sqrt{x^2-x}\right)=\frac{5}{2}$$