Inyectividad de una transformación lineal

Sean $(V,+,K,\cdot)$ y $(W,+,K,\cdot)$ espacios vectoriales y $T:V\rightarrow W$ una transformación lineal. Demostrar que $T$ es inyectiva si y sólo si $Nu(T)=\{\theta_V\}$. Donde $\theta_V$ es el vector nulo de $V$.

Solución.

($\Rightarrow$) Hipótesis: $T$ es inyectiva. Probaremos que $Nu(T)=\{\theta_V\}$. Es trivial que $\{\theta_V\}\subset Nu(T)$. Así que resta probar que $Nu(T)\subset\{\theta_V\}$. Sea $x\in Nu(T)$, entonces
$$T(x)=\theta_W=T(\theta_V)$$
Luego, por ser $T$ inyectiva, tenemos $x=\theta_V$. Así
$$x\in\{\theta_V\}\Rightarrow Nu(T)\subset\{\theta_V\}$$
Por lo tanto, $Nu(T)=\{\theta_V\}$.\\
($\Leftarrow$) Hipótesis: $Nu(T)=\{\theta_V\}$. Por demostrar que $T$ es inyectiva. Sean $x,y\in Nu(T)$, tales que $T(x)=T(y)$, operamos
$$T(x)=T(y)\Rightarrow T(x)-T(y)=\theta_W\Rightarrow T(x-y)=\theta_W$$
Por definición de núcleo, tenemos
$$x-y\in Nu(T)=\{\theta_V\}$$
Entonces
$$x-y=\theta_V\Rightarrow x=y$$

Por lo tanto, $T$ es inyectiva.