Halle el menor de los antecedentes

En una proporción geométrica de razón $3/5$, la suma de los cuatro términos es 168 y la diferencia de los consecuentes es 35. Halle el menor de los antecedentes.

Solución.

Por dato del problema
$$\frac{a}{b}=\frac{c}{d}=\frac{3}{5}$$
De donde
$$\begin{align}
\frac{a}{b}&=\frac{3}{5}\Rightarrow b=\frac{5}{3}a\\
\frac{c}{d}&=\frac{3}{5}\Rightarrow d=\frac{5}{3}c
\end{align}$$
Tengamos presente que $a$ y $c$ son los antecedentes, $b$ y $d$ son los consecuentes. También, la diferencia de los consecuentes es 35, o sea
$$\begin{align}
b-d&=35\\
\frac{5}{3}a-\frac{5}{3}c&=35\\
\frac{5}{3}(a-c)&=35\\
a-c&=21\qquad\ldots\mbox{(I)}
\end{align}$$
La suma de los cuatro términos es 168, es decir
$$\begin{align}
a+b+c+d&=168\\
b+d&=168-(a+c)
\end{align}$$
Por propiedad de las proporciones geométricas
$$\begin{align}
\frac{a+c}{b+d}&=\frac{3}{5}\\
\frac{a+c}{168-(a+c)}&=\frac{3}{5}\\
5(a+c)&=3(168-(a+c))\\
8(a+c)&=504\\
a+c&=63\qquad\ldots\mbox{(II)}
\end{align}$$
De $\mbox{(I)}$ y $\mbox{(II)}$, tenemos el siguiente sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas sencillo de resolver
$$\left.
\begin{array}{c}
a-c=21\\
a+c=63
\end{array}
\right\}\Rightarrow a=42,\ c=21$$

Por lo tanto, el menor de los antecedente es $c=21$.