Hallar las dimensiones del núcleo y la imagen [Ejercicio resuelto de Álgebra Lineal]

Sea la transformación lineal $T:P_2\rightarrow M_{2\times 1}$ definida por $$T(1)=\begin{bmatrix}1\\ 2\end{bmatrix},\ T(x)=T(x^2)=\begin{bmatrix}0\\ 1\end{bmatrix}$$
Hallar las dimensiones del núcleo y la imagen de la transformación lineal $T$. (Donde $P_2$ es el espacio vectorial de los polinomios de grado menor o igual a 2 y $M_{2\times 1}$ es el espacio vectorial de las matrices de orden $2\times 1$, ambos sobre el cuerpo de los reales.)

Encontramos primero el núcleo de $T$, por definición
$$Nu(T)=\left\{ax^2+bx+c\in P_2\ |\ T(ax^2+bx+c)=\begin{bmatrix}0\\ 0\end{bmatrix}\right\}$$
Operamos y usamos la definición de $T$
$$\begin{align}
T(ax^2+bx+c)&=\begin{bmatrix}0\\ 0\end{bmatrix}\\
aT(x^2)+bT(x)+cT(1)&=\begin{bmatrix}0\\ 0\end{bmatrix}\\
a\begin{bmatrix}0\\ 1\end{bmatrix}+b\begin{bmatrix}0\\ 1\end{bmatrix}+c\begin{bmatrix}1\\ 2\end{bmatrix}&=\begin{bmatrix}0\\ 0\end{bmatrix}\\
\begin{bmatrix}0\\ a\end{bmatrix}+\begin{bmatrix}0\\ b\end{bmatrix}+\begin{bmatrix}c\\ 2c\end{bmatrix}&=\begin{bmatrix}0\\ 0\end{bmatrix}\\
\begin{bmatrix}c\\ a+b+2c\end{bmatrix}&=\begin{bmatrix}0\\ 0\end{bmatrix}
\end{align}$$
Por igualdad de matrices
$$c=0\Rightarrow a+b+2c=0\Rightarrow a+b=0\Rightarrow b=-a$$
Luego, el núcleo de $T$ es de la forma
$$\begin{align}
Nu(T)&=\left\{ax^2+(-a)x\in P_2\right\}\\
Nu(T)&=\left\{a(x^2-x)\in P_2\right\}
\end{align}$$
Observemos que la dimensión del núcleo es 1, es decir
$$\text{dim}(Nu(T))=1$$
Por el Teorema de Núcleo e Imagen
$$\begin{align}
\text{dim}(Nu(T))+\text{dim}(Im(T))&=\text{dim}(P_2)\\
1+\text{dim}(Im(T))&=3\\
\text{dim}(Im(T))&=2
\end{align}$$
Por lo tanto, $\text{dim}(Nu(T))=1$ y $\text{dim}(Im(T))=2$.