Hallar la matriz A por igualdad de matrices

Hallar la matriz $A$ de orden $2\times 2$ y coeficientes reales, tal que $a_{22}=4$ y
$$A^2=\begin{pmatrix}7 & 10\\ 15 & 22\end{pmatrix}$$
Solución.

Sea la matriz
$$A=\begin{pmatrix}
a & b\\ c & 4
\end{pmatrix}$$
Pues por dato del problema, $a_{22}=4$. Operamos
$$A=\begin{pmatrix}
a & b\\ c & 4
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
a & b\\ c & 4
\end{pmatrix}=
\begin{pmatrix}
a^2+bc & ab+4b\\ ac+4c & bc+16
\end{pmatrix}=
\begin{pmatrix}7 & 10\\ 15 & 22\end{pmatrix}$$
Por igualdad de matrices
$$bc+16=22\Rightarrow bc=6$$
Reemplazamos el resultado obtenido en $a^2+bc=7$
$$a^2+bc=7\Rightarrow a^2+6=7\Rightarrow a^2=1\Rightarrow a=\pm 1$$
Además, de las igualdades $ab+4b=10$ y $ac+4c=15$ tenemos
$$b=\frac{10}{a+4}\qquad\qquad c=\frac{15}{a+4}$$
Si $a=-1$, entonces
$$b=\frac{10}{-1+4}=\frac{10}{3}\qquad\qquad c=\frac{15}{-1+4}=5$$
Pero no se satisface que $bc=6$.\\
Si $a=1$, entonces
$$b=\frac{10}{1+4}=2\qquad\qquad c=\frac{15}{1+4}=3$$
Y comprobamos que $bc=6$.\\
Por lo tanto, la matriz $A$ es
$$A=\begin{pmatrix}
1 & 2\\ 3 & 4
\end{pmatrix}$$