Hallar la imagen de la siguiente transformación lineal

Sea $T:\mathbb{R}^2\rightarrow\mathbb{R}^3$ la transformación lineal definida por
$$T(x,y)=(x-y,x+2y,x+y)$$
Hallar la imagen de $T$, $Im(T)$.

Solución.

Por definición, la imagen de la transformación lineal $T$ es
$$Im(T)=\{(x,y,z)\in\mathbb{R}^3\ |\ \exists(a,b)\in\mathbb{R}^2\ \wedge\ T(a,b)=(x,y,z)\}$$
De la definición de $T$
$$T(a,b)=(a-b,a+2b,a+b)=(x,y,z)$$
Por igualdad se tiene
$$\left\{\begin{array}{l}a-b=x\\ a+2b=y\\ a+b=z\end{array}\right.\Rightarrow\left\{\begin{array}{l}2a=x+z\\ 3a=2x+y\end{array}\right.$$
Luego
$$\begin{array}{l}a=\dfrac{x+z}{2}\\ \\ a=\dfrac{2x+y}{3}\end{array}\Rightarrow \frac{x+z}{2}=\frac{2x+y}{3}$$
Entonces
$$3x+3z=4x+2y\Rightarrow x+2y-z=0$$
Por lo tanto
$$Im(T)=\{(x,y,z)\in\mathbb{R}^3\ |\ x+2y-z=0\}$$