Demostrar que la inversa de una matriz es única

Demostrar que la inversa de una matriz, si existe, es única.

Solución.

Sea $A$ una matriz no singular, es decir, que tiene inversa, la cual denotaremos por $B$, o sea
$$AB=BA=I$$
Donde $I$ es la matriz identidad. Supongamos que existen otra matriz $C$, diferente de $B$, con la misma propiedad, o sea
$$AC=CA=I$$
Sea la igualdad $AB=I$, multiplicando por $C$ (por la izquierda) dicha igualdad tenemos
$$\begin{align}
C(AB)&=C(I)\\
(CA)B&=C\\
IB&=C
\end{align}$$
De donde
$$B=C$$
Pero esto contradice nuestra suposición de que $B$ y $C$ sean diferentes.

Por lo tanto, la inversa de una matriz es única.