Demostrar que el elemento neutro de un espacio vectorial es único

Demostrar que el elemento neutro $\theta$ de un espacio vectorial es único

Solución.

Sea $V$ un espacio vectorial y sea $v\in V$ un vector arbitrario. Supongamos que existe otro elemento con la misma propiedad, es decir, $\exists\theta'\in V$ tal que $\theta'+v=v$, para todo $v\in V$. Como $\theta$ es el elemento neutro también $\theta+v=v$ para todo $v\in V$. Dado que $v$ es un vector arbitrario de $V$, en particular podemos tomar $v=\theta$ y $v=\theta'$. Con esto tenemos
$$\begin{align}
\theta'+\theta&=\theta\\
\theta+\theta'&=\theta'
\end{align}$$
Por la propiedad conmutativa para la suma, tenemos
$$\begin{align}
\theta'+\theta&=\theta\\
\theta'+\theta&=\theta'
\end{align}$$

De donde, $\theta'=\theta$. Pero este resultado es una contradicción pues hemos supuesto que eran diferentes.

Por lo tanto, el elemento neutro de un espacio vectorial es único.