Calcular la siguiente derivada de la función inversa [Ejercicio resuelto de Cálculo Diferencial]

Sea la función
$$f(x)=\sqrt{x}+\ln x+1$$
Calcular $(f^{-1}(2))'$
Debemos recordar que
$$(f^{-1}(x))'=\dfrac{1}{f'(f^{-1}(x))}$$
Además, derivando $f(x)$
$f'(x)=\dfrac{1}{2\sqrt{x}}+\dfrac{1}{x}$
Por otro lado, operando con $f^{-1}(2)$
$$\begin{align}
\sqrt{x}+\ln x+1&=2\\
\sqrt{x}+\ln x&=1\\
\ln(e^{\sqrt{x}})+\ln x&=1\\
\ln(e^{\sqrt{x}}x)&=1\\
e^{\sqrt{x}}x&=e\\
x&=1
\end{align}$$
Luego
$$f^{-1}(2)=1$$
Entonces
$$f'(f^{-1}(2))=f'(1)=\dfrac{1}{2\sqrt{1}}+\dfrac{1}{1}=\dfrac{3}{2}$$
Por lo tanto
$$(f^{-1}(2))'=\dfrac{1}{f'(f^{-1}(2))}=\dfrac{1}{3/2}=\dfrac{2}{3}$$