Calcular la determinante desarrollando por cofactores

Calcular la determinante de
$$A=\begin{pmatrix}
1 & 0 & 2 & -1\\
3 & 1 & -1 & 2\\
-1 & 0 & 0 & 1\\
2 & 3 & 1 & 2
\end{pmatrix}$$
Solución.

Aprovechamos los ceros de la tercera fila. Desarrollamos por cofactores a lo largo de la tercera fila, teniendo en cuenta que $a_{31}=-1$, $a_{34}=1$ y $a_{32}=a_{33}=0$.
$$\begin{align}
\det(A)&=\sum_{j=1}^4(-1)^{3+j}a_{3j}\det(A_{3j})\\
&=a_{31}\det(A_{31})-a_{32}\det(A_{32})+a_{33}\det(A_{33})-a_{34}\det(A_{34})\\
&=-\det(A_{31})-\det(A_{34})
\end{align}$$
Además
$$\begin{align}
\det(A_{31})&=\begin{vmatrix}
0 & 2 & -1\\
1 & -1 & 2\\
3 & 1 & 2
\end{vmatrix}=-2\begin{vmatrix}1 & 2\\ 3 & 2\end{vmatrix}-\begin{vmatrix}1 & -1\\ 3 & 1\end{vmatrix}=4\\
\det(A_{34})&=\begin{vmatrix}
1 & 0 & 2\\
3 & 1 & -1\\
2 & 3 & 1
\end{vmatrix}=\begin{vmatrix}1 & -1\\ 3 & 1\end{vmatrix}+2\begin{vmatrix}3 & 1\\ 2 & 3\end{vmatrix}=18
\end{align}$$
Por lo tanto

$$\det(A)=-4-18=-22$$