Calcular el valor de a para que pertenezca al espacio generado [Ejercicio resuelto de Álgebra Lineal]

Calcular el valor del parámetro $a$ para que el vector $\begin{pmatrix}a+3\\ 2a\\ a\end{pmatrix}$ pertenezca al espacio generado por el conjunto de vectores $\left\{\begin{pmatrix}2\\ 0\\ 1\end{pmatrix},\begin{pmatrix}3\\ 1\\ 2\end{pmatrix},\begin{pmatrix}-7\\ 1\\ -3\end{pmatrix}\right\}$.
Como queremos que el vector $\begin{pmatrix}a+3\\ 2a\\ a\end{pmatrix}$ pertenezca al espacio generado por el conjunto de vectores $\left\{\begin{pmatrix}2\\ 0\\ 1\end{pmatrix},\begin{pmatrix}3\\ 1\\ 2\end{pmatrix},\begin{pmatrix}-7\\ 1\\ -3\end{pmatrix}\right\}$, entonces deben existir $\alpha,\beta,\gamma\in\mathbb{R}$ tales que
$$\alpha\begin{pmatrix}2\\ 0\\ 1\end{pmatrix}+\beta\begin{pmatrix}3\\ 1\\ 2\end{pmatrix}+\gamma\begin{pmatrix}-7\\ 1\\ -3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}a+3\\ 2a\\ a\end{pmatrix}$$
Operamos
$$\begin{align}
\begin{pmatrix}2\alpha\\ 0\\ \alpha\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}3\beta\\ \beta\\ 2\beta\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}-7\gamma\\ \gamma\\ -3\gamma\end{pmatrix}&=\begin{pmatrix}a+3\\ 2a\\ a\end{pmatrix}\\
\begin{pmatrix}2\alpha+3\beta-7\gamma\\ \beta+\gamma\\ \alpha+2\beta-3\gamma\end{pmatrix}&=\begin{pmatrix}a+3\\ 2a\\ a\end{pmatrix}
\end{align}$$
De donde, por igualdad de matrices tenemos el siguiente sistema
$$\left\{\begin{array}{lr}2\alpha+3\beta-7\gamma=a+3 & \quad\ldots\mbox{(I)}\\ \beta+\gamma=2a & \quad\ldots\mbox{(II)}\\ \alpha+2\beta-3\gamma=a & \quad\ldots\mbox{(III)}\end{array}\right.$$
Multiplicando la ecuación $\mbox{(I)}$ por -1, la ecuación $\mbox{(III)}$ y sumando ambas miembro a miembro tendremos
$$\left\{\begin{array}{l}-2\alpha-3\beta+7\gamma=-a-3\\ \beta+\gamma=2a\\ 2\alpha+4\beta-6\gamma=2a\end{array}\right.$$
$$\begin{array}{rl}
-2\alpha-3\beta+7\gamma&=-a-3\\
2\alpha+4\beta-6\gamma&=2a\\ \hline
\beta+\gamma&=a-3
\end{array}$$
Ahora, usamos la ecuación $\mbox{(II)}$ y reemplazamos
$$2a=a-3\Rightarrow a=-3$$
Por lo tanto, $a=-3$.