Calcular el límite al infinito de la siguiente función

Calcular el siguiente límite
$$\lim_{x\rightarrow\infty}\dfrac{x+\sin\left(\dfrac{x\pi}{2}\right)}{2x+1}$$
Solución.

Tengamos presente lo siguiente
$$\lim_{x\rightarrow\infty}\dfrac{x}{2x+1}=\lim_{x\rightarrow\infty}\dfrac{1}{2+\dfrac{1}{x}}=\dfrac{1}{2}$$
Además
$$-1\leq\sin\left(\dfrac{x\pi}{2}\right)\leq 1$$
Entonces, como $2x+1\geq 1$ (para valores de $x\rightarrow\infty$)
$$-\dfrac{1}{2x+1}\leq\dfrac{\sin\left(\dfrac{x\pi}{2}\right)}{2x+1}\leq \dfrac{1}{2x+1}$$
Aplicando el límite $x\rightarrow\infty$
$$-\lim_{x\rightarrow\infty}\dfrac{1}{2x+1}\leq\lim_{x\rightarrow\infty}\dfrac{\sin\left(\dfrac{x\pi}{2}\right)}{2x+1}\leq \lim_{x\rightarrow\infty}\dfrac{1}{2x+1}$$
Así
$$0\leq\lim_{x\rightarrow\infty}\dfrac{\sin\left(\dfrac{x\pi}{2}\right)}{2x+1}\leq 0\Rightarrow \lim_{x\rightarrow\infty}\dfrac{\sin\left(\dfrac{x\pi}{2}\right)}{2x+1}=0$$
Ahora, operamos el límite pedido y usamos los resultados obtenidos
$$\lim_{x\rightarrow\infty}\dfrac{x+\sin\left(\dfrac{x\pi}{2}\right)}{2x+1}=\lim_{x\rightarrow\infty}\dfrac{x}{2x+1}+\lim_{x\rightarrow\infty}\dfrac{\sin\left(\dfrac{x\pi}{2}\right)}{2x+1}=\frac{1}{2}+0=\frac{1}{2}$$
Por lo tanto
$$\lim_{x\rightarrow\infty}\dfrac{x+\sin\left(\dfrac{x\pi}{2}\right)}{2x+1}=\frac{1}{2}$$