Calcula la suma de la siguiente serie

Calcular la siguiente serie
$$\sum_{n=1}^{+\infty}\dfrac{1}{(n+1)\sqrt{n}+n\sqrt{n+1}}$$
Solución.

Sea
$$S=\sum_{n=1}^{+\infty}\dfrac{1}{(n+1)\sqrt{n}+n\sqrt{n+1}}$$
El proceso de solución es el siguiente
$$\begin{align}
S&=\sum_{n=1}^{+\infty}\dfrac{1}{(n+1)\sqrt{n}+n\sqrt{n+1}}\cdot\dfrac{(n+1)\sqrt{n}-n\sqrt{n+1}}{(n+1)\sqrt{n}-n\sqrt{n+1}}\\
&=\sum_{n=1}^{+\infty}\dfrac{(n+1)\sqrt{n}-n\sqrt{n+1}}{n(n+1)}\\
&=\sum_{n=1}^{+\infty}\left(\dfrac{1}{\sqrt{n}}-\dfrac{1}{\sqrt{n+1}}\right)
\end{align}$$
Sea
$$\begin{align}
S_n&=\sum_{k=1}^{n}\left(\dfrac{1}{\sqrt{k}}-\dfrac{1}{\sqrt{k+1}}\right)\\
&=-\sum_{k=1}^{n}\left(\dfrac{1}{\sqrt{k+1}}-\dfrac{1}{\sqrt{k}}\right)\\
&=-\left(\dfrac{1}{\sqrt{n+1}}-\dfrac{1}{\sqrt{1}}\right)\qquad\ldots\mbox{(I)}\\
&=1-\dfrac{1}{\sqrt{n+1}}
\end{align}$$
Donde para obtener $\mbox{(I)}$ usamos la propiedad telescópica, tomando como el término $k$-ésimo de una suma finita $t_k=1/\sqrt{k+1}$.

Luego
$$\begin{align}
S=\sum_{n=1}^{+\infty}\dfrac{1}{(n+1)\sqrt{n}+n\sqrt{n+1}}&=\lim_{n\rightarrow+\infty}S_n\\
&=\lim_{n\rightarrow+\infty}\left(1-\dfrac{1}{\sqrt{n+1}}\right)\\
&=1
\end{align}$$
Por lo tanto

$$\sum_{n=1}^{+\infty}\dfrac{1}{(n+1)\sqrt{n}+n\sqrt{n+1}}=1$$