Analizar si la aplicación es transformación lineal de funciones

Sean $C[0,1]$ el espacio vectorial de las funciones reales, sobre el cuerpo de los reales, definidas en todo el intervalo $[0,1]$.

Sea la aplicación $T:C[0,1]\rightarrow C[0,1]$, definida para todo $f\in C[0,1]$ de la siguiente manera
$$T(f)(x)=f(x^2)\ \forall x\in[0,1]$$
Analizar si $T$ es una transformación lineal.

Solución.

Sean $f,g\in C[0,1]$ y $\alpha,\beta\in\mathbb{R}$. Aplicamos $T$ a $\alpha f+\beta g\in C[0,1]$. Entonces por definición de $T$, para todo $x\in[0,1]$
$$\begin{align}
T(\alpha f+\beta g)(x)&=(\alpha f+\beta g)(x^2)\\
&=(\alpha f)(x^2)+(\beta g)(x^2)\\
&=\alpha f(x^2)+\beta g(x^2)\\
&=\alpha T(f)(x)+\beta T(g)(x)\\
&=[\alpha T(f)+\beta T(g)](x)
\end{align}$$
Así
$$T(\alpha f+\beta g)=\alpha T(f)+\beta T(g)$$
Por lo tanto, $T$ es transformación lineal.